Mini-cours
"Continuous Optimization"
La méthode du maximum d'entropie sur la moyenne pour les problèmes linéaires inverses
Vendredi le 29 novembre | de 13 h à 16 h​
Le principe de l'entropie maximale stipule que la distribution de probabilité qui représente le mieux l'état actuel des connaissances sur un système est celle qui a l'entropie la plus élevée par rapport à une distribution (de données) préalable donnée. Il a été formulé pour la première fois dans le contexte de la physique statistique dans deux articles fondamentaux d'E. T. Jaynes (Physical Review, Series II. 1957), et constitue donc une manifestation du rasoir d'Occam dans la théorie de l'information. Nous appliquons l'idée d'entropie maximale dans le contexte des problèmes linéaires inverses : nous recherchons la mesure de probabilité qui est proche de l'a priori (appris ou choisi) et dont l'espérance (moyenne) a un petit résidu par rapport à l'observation. La dualité conduit à des problèmes (duaux) traçables et de dimension finie. Un outil essentiel, dont nous montrons ensuite l'utilité au-delà du cadre du problème inverse linéaire, est la « fonction MEMM » : il s'agit d'une projection infimale de la divergence de Kullback-Leibler et d'une équation linéaire, qui coïncide avec la fonction de Cramer (omniprésente dans la théorie des grandes déviations) dans la plupart des cas, et qui est associée dans la dualité à la fonction génératrice du cumulant de la mesure préalable.
Professeur Tim Hoheisel
Université McGill
Le mini-cours se compose de deux conférences :
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Une introduction approfondie aux résultats nécessaires de l'analyse convexe.
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Un bref résumé des outils nécessaires de la théorie des mesures, suivi des schémas de dualité mentionnés ci-dessus, ainsi que des approches basées sur les données pour utiliser la méthodologie MEM.
"Logic/Set Theory"
Réductibilité de Borel et méthode de forçage
Vendredi le 29 novembre | de 13 h à 16 h​
Ce mini-cours introduira la théorie de la réductibilité de Borel, avec un accent particulier sur l'étude des épingles pour les relations d'équivalence. En gros, les épingles sont des classes d'équivalence qui peuvent vivre dans une extension de forçage mais qui peuvent être simplement définies dans le modèle de base. Nous commencerons par donner quelques informations sur la réductibilité de Borel et le forçage, et nous introduirons les premières motivations et quelques applications des épingles dans le contexte de la conjecture de Vaught, comme le théorème de Harrington, la caractérisation de Hjorth des groupes polonais satisfaisant la conjecture de Vaught sur les ensembles analytiques, et la caractérisation de Hjorth-Thompson des groupes polonais admettant une métrique complète invariante à gauche. Nous verrons ensuite comment une étude plus attentive des épingles peut être utilisée pour étudier les relations d'équivalence plus haut dans la hiérarchie de réductibilité de Borel, et présenterons quelques applications pour les résultats d'irréductibilité de Borel, en suivant les résultats de Larson, Laskowski, Rast, Ulrich, Zapletal.
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Nous supposerons une certaine familiarité avec la théorie descriptive des ensembles et la logique mathématique.
Assaf Shani
Université Concordia
"Mathematical Modelling of Traffic Flow"
Ce cours a pour but d'initier le public aux bases de la modélisation mathématique avec des applications spécifiques au trafic automobile.
Vendredi le 29 novembre | de 9 h à 12 h​
Isha Dhiman
University of the Fraser Valley
Au XXIe siècle, l'un des problèmes créés par l'augmentation de la population, qui est aujourd'hui très préoccupant, est celui de la congestion. Vancouver serait l'une des villes les plus encombrées d'Amérique du Nord. Dans un effort constant pour réduire les embouteillages dans le monde surpeuplé d'aujourd'hui, le domaine de la théorie des flux de trafic est perplexe en raison des terminologies mixtes et des notations très différentes utilisées par les mathématiciens, les physiciens, les ingénieurs du trafic, les économistes et, même, les praticiens de la recherche opérationnelle.
L'objectif principal de l'ingénierie de la circulation est de planifier et de concevoir des réseaux routiers efficaces pour assurer un transport fluide. Un autre objectif est de concevoir des stratégies pour des simulations en ligne rapides, qui peuvent être utiles dans la prévision du trafic et peuvent empêcher l'apparition d'embouteillages, qui est une situation physique indésirable et peut se produire pour de nombreuses raisons telles que le trafic à haut volume, les inhomogénéités spatiales et les perturbations spontanées du trafic. Un objectif supplémentaire qui mérite d'être mentionné est la nécessité de réduire les accidents de la circulation, qui représentent un coût humain et social.
La modélisation mathématique et l'analyse des flux de trafic peuvent fournir des informations dans ce domaine et dans d'autres domaines connexes.Nous essaierons de couvrir les bases nécessaires pour obtenir des idées sur la poursuite de la recherche dans ce domaine.
Le mini-cours se compose de trois parties :